在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k
| 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .  (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且  ＝λ ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S △PQA ＝2S △PAM ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． |
赞 静守岁月 幼苗
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（1）y＝x 2 (x≠0且x≠－1)（2）(1，1)
(1)设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由k OP ＋k OA ＝k PA 得
，
整理得轨迹C的方程为y＝x 2 (x≠0且x≠－1)．
(2)设P(x 1 ，
)，Q(x 2 ，
，M(x 0 ，y 0 )，
由
＝λ
可知直线PQ∥OA，则k PQ ＝k OA ，故
，即x 2 ＋x 1 ＝－1，
由O、M、P三点共线可知，
＝(x 0 ，y 0 )与
＝(x 1 ， )共线，
∴x 0 －x 1 y 0 ＝0，由(1)知x 1 ≠0，故y 0 ＝x 0 x 1 ，
同理，由
＝(x 0 ＋1，y 0 －1)与
＝(x 2 ＋1， －1)共线可知(x 0 ＋1)( －1)－(x 2 ＋1)(y 0 －1)＝0，即(x 2 ＋1)[(x 0 ＋1)·(x 2 －1)－(y 0 －1)]＝0，
由(1)知x 2 ≠－1，故(x 0 ＋1)(x 2 －1)－(y 0 －1)＝0，
将y 0 ＝x 0 x 1 ，x 2 ＝－1－x 1 代入上式得(x 0 ＋1)(－2－x 1 )－(x 0 x 1 －1)＝0，
整理得－2x 0 (x 1 ＋1)＝x 1 ＋1，由x 1 ≠－1得x 0 ＝－
，由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA＝2AM，
∵PQ∥OA，∴OP＝2OM，∴
＝2 ，∴x 1 ＝1，∴P的坐标为(1，1)
(1)设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由k OP ＋k OA ＝k PA 得
，整理得轨迹C的方程为y＝x 2 (x≠0且x≠－1)．
(2)设P(x 1 ，
)，Q(x 2 ，
，M(x 0 ，y 0 )，由
＝λ
可知直线PQ∥OA，则k PQ ＝k OA ，故
，即x 2 ＋x 1 ＝－1，由O、M、P三点共线可知，
＝(x 0 ，y 0 )与
＝(x 1 ， )共线，∴x 0
－x 1 y 0 ＝0，由(1)知x 1 ≠0，故y 0 ＝x 0 x 1 ，同理，由
＝(x 0 ＋1，y 0 －1)与
＝(x 2 ＋1， －1)共线可知(x 0 ＋1)( －1)－(x 2 ＋1)(y 0 －1)＝0，即(x 2 ＋1)[(x 0 ＋1)·(x 2 －1)－(y 0 －1)]＝0，由(1)知x 2 ≠－1，故(x 0 ＋1)(x 2 －1)－(y 0 －1)＝0，
将y 0 ＝x 0 x 1 ，x 2 ＝－1－x 1 代入上式得(x 0 ＋1)(－2－x 1 )－(x 0 x 1 －1)＝0，
整理得－2x 0 (x 1 ＋1)＝x 1 ＋1，由x 1 ≠－1得x 0 ＝－
，由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA＝2AM，∵PQ∥OA，∴OP＝2OM，∴
＝2 ，∴x 1 ＝1，∴P的坐标为(1，1)
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