如图,已知BD,CE为△ABC的角平分线,F为DE的中点,点F到AC,AB,BC的距离分别为FG=a,FH=b.FM=c

如图,已知BD,CE为△ABC的角平分线,F为DE的中点,点F到AC,AB,BC的距离分别为FG=a,FH=b.FM=c,若c2-c-2ab+[1/2]m2-2m+[5/2]=0.

(1)求a,b,c,m的值;
(2)求证:DG=[BC−CD/4].
股坛无霸 1年前 已收到1个回答 举报

rulaifo123 幼苗

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解题思路:(1)过点E作EQ⊥AC于Q,EN⊥BC于N,过点D作DK⊥BC于K,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EQ=EN,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EQ=2FG=2a,同理可得DK=2FH=2b,再根据垂直于同一直线的两直线平行可得EN∥FM∥DK,然后根据梯形的中位线等于两底和的一半可得EN+DK=2FM,从而求出2a+2b=2c,然后把c换成a、b并配方整理,再根据非负数的性质列式求出a、b、m,再求出c即可;
(2)根据a、b的值可得EN=DK,求出DE∥BC,根据两直线平行,内错角相等可得∠CBD=∠EDB,再根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD,从而得到∠EBD=∠EDB,根据等角对等边可得BE=DE,然后利用“HL”证明△EDQ和△EBN全等,同理可得△EDQ和△DCK全等,根据全等三角形对应边相等可得BN=DQ=CK,再求出BC-CD=4DG,然后整理即可得证.

(1)如图,过点E作EQ⊥AC于Q,EN⊥BC于N,过点D作DK⊥BC于K,
∵CE为△ABC的角平分线,
∴EQ=EN,
在△DEQ中,∵F为DE的中点,
∴EQ=2FG=2a,
同理可得DK=2FH=2b,
在四边形ENKD中,EN∥FM∥DK,
∴EN+DK=2FM,
即2a+2b=2c,
∵c2-c-2ab+[1/2]m2-2m+[5/2]=0,
∴(a+b)2-(a+b)-2ab+[1/2]m2-2m+[5/2]=0,
即a2+b2-2ab-a-b+[1/2]m2-2m+[5/2]=0,
整理得,(a-[1/2])2+(b-[1/2])2+[1/2](m-2)2=0,
∴a-[1/2]=0,b-[1/2]=0,m-2=0,
解得a=[1/2],b=[1/2],m=2,
∴c=a+b=[1/2]+[1/2]=1,
故,a,b,c,m的值分别为[1/2]、[1/2]、1、2;
(2)证明:∵a=b=[1/2],
∴EN=DK,
∴ED∥BC,
∴∠CBD=∠EDB
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠CBD,
∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,
在△EDQ和△EBN中,

BE=DE
EN=EQ,
∴△EDQ≌△EBN(HL),
同理,△EDQ≌△DCK,
∴BN=DQ=CK,
∴BC-CD=BC-DE=BC-NK=2BN=2DQ=4DG,
∴DG=[BC−CD/4].

点评:
本题考点: 三角形中位线定理;一元二次方程的应用.

考点点评: 本题考查了三角形的中位线定理,梯形的中位线定理,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,求出a+b=c,然后利用配方法和非负数的性质列式求出a、b、m的值是解题的关键.

1年前

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