(2014•洛阳三模)已知{an}的各项均为正数的数列,其前n项和为Sn,若2Sn=an2+an(n≥1),且a1、a3

(2014•洛阳三模)已知{an}的各项均为正数的数列,其前n项和为Sn,若2Sn=an2+an(n≥1),且a1、a3、a7成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=2 an ,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn+4=2b.
tianya725 1年前 已收到1个回答 举报

kkcjw 幼苗

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解题思路:(1)利用公式an=sn-sn-1(n≥2)两式作差求得结论;
(2)由(1)数列{bn}是等比数列,由等比数列的前n项和公式求得Tn,即可得证.

(Ⅰ)∵2Sn=an2+an(n≥1),
∴n≥2时,2Sn-1=an-12+an-1
两式相减,得2an=
a2n-
a2n−1+an-an-1
整理,得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵an+an-1≠0,
∴)an-an-1=1,
又4s1=
a21+a1

a21-a1=0,解得:a1=1,
∴{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.
又a1、a3、a7成等比数列.

a23=a1a7,即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,
∴an=2+(n-1)•1=n+1.
(2)证明:由(1)得bn=2an=2n+1
∴Tn=22+23+…+2n+1=
4(1−2n)
1−2=2n+2-4,
∴Tn+4=2n+2=2bn

点评:
本题考点: 数列的求和;等比数列的性质.

考点点评: 本题主要考查利用公式法求通项公式的方法及等比数列的前n项和公式,考查方程思想的运用能力及运算求解能力,属中档题.

1年前

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