(2013•济南二模)已知数列{an}满足a1=3,an+1−3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足bn=an3n.

(2013•济南二模)已知数列{an}满足a1=3,an+1−3an3n(n∈N*),数列{bn}满足bn
an
3n

(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
取名还真难 1年前 已收到1个回答 举报

wangyibosx 幼苗

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解题思路:(1)由bn
an
3n
,可得bn+1
an+1
3n+1
,然后检验bn+1-bn是否为常数即可证明,进而可求其通项
(2)由题意可先求an,结合数列的通项的特点,考虑利用错位相减求和即可求解

解(1)证明:由bn=
an
3n,得bn+1=
an+1
3n+1,
∴bn+1−bn=
an+1
3n+1−
an
3n=
1
3---------------------(2分)
所以数列{bn}是等差数列,首项b1=1,公差为[1/3]-----------(4分)
∴bn=1+
1
3(n−1)=
n+2
3------------------------(6分)
(2)an=3nbn=(n+2)×3n−1-------------------------(7分)
∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+(n+2)×3n-1----①
∴3Sn=3×3+4×32+…+(n+2)×3n-------------------②(9分)
①-②得−2Sn=3×1+3+32+…+3n−1−(n+2)×3n
=2+1+3+32+…+3n-1-(n+2)×3n=
3n+3
2−(n+2)×3n------(11分)
∴Sn=−
3n+3
4+
(n+2)3n
2-----------------(12分)

点评:
本题考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和.

考点点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式证明等差数列,及等差数列的通项公式的应用,数列的错位相减求和方法的应用.

1年前

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