（2010•怀柔区一模）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABC

（I）证明：以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AZ为z轴的空间直角坐标系，
如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0，0，0），B（
2，0，0），
C（
2，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴M(

2
2，1，0)，N(

2
2，
1
2，
1
2).（2分）
∴

MN＝(0，−
1
2，
1
2)，

AB＝(
2，0，0)，

AN＝(

2
2，
1
2，
1
2).（4分）

∴

MN•

AB═0，

MN•

AN═0．∴

MN⊥

AB，

MN⊥

AN.
∴MN⊥平面ABN．（7分）
（II）设平面NBC的法向量

n＝(a，b，c)，则

n⊥

BC，

n⊥

SC.
且又易知

BC＝(0，1，0)，

SC＝(
2，1，−1)
∴



n•

BC＝0


n•

SC＝0即

b＝0

2a+b−c＝0.∴

b＝0
c＝
2a.
令a=1，则

n＝(1，0，
2).（11分）
显然，

MN＝(0，−
1
2，
1
2)就是平面ABN的法向量．
∴cos＜

n，

MN＞＝


n•

MN
|

n|•|

MN|═

3
3.
由图形知，二面角A-BN-C是钝角二面角（12分）
∴二面角A-BN-C的余弦值是-

3
3．（14分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查向量法证明直线与平面的垂直，二面角的求法，考查学生计算能力，逻辑思维能力，是中档题．