一道定积分题目

这种题都是用变量替换和微积分基本定理.
微积分基本定理：【积分(从a(x)到b(x))f(y)dy】'=f(b(x))*b'(x)－f(a(x))*a'(x).
对积分做变量替换x－2t＝y,t＝0对应y＝x,t＝x对应y＝－x,dt＝－dy/2.
于是F(x)＝积分(从x到－x)(x－y)/2*f(y)*(－dy/2)
＝1/4*【x积分(从－x到x)f(y)dy－积分(从－x到x)yf(y)dy】,
F'(x)＝1/4*【积分(从－x到x)f(y)dy+xf(x)+xf(－x)－xf(x)+xf(－x)】
＝1/4*【积分(从－x到x)f(y)dy+2xf(－x)】
F'(0)＝0；
注意到g‘(x)＝【积分(从－x到x)f(y)dy】‘＝f(x)+f(－x),g'(0)＝2f(0).
lim (x－>0) (2xf(－x)－0）/(x－0)
=lim (x－>0) 2f(－x)
＝2f(0),
因此F'’(0)＝g'(0)+2f(0)＝4f(0).

令x-2t=u，则t=(x−u)/2，dt=−(1/2)dt，当t=0时，u=x，当t=x时，u=−x，∴

，

∵因为题设是f(x)连续∴不能继续使用求导法则，只能利用导数定义计算如下：