高数题(不定积分),第6题

清脆苗苗 1年前 已收到3个回答 举报

RobertWolf 幼苗

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令 x=sint,则 dx=costdt,√(1-x²)=cost
设原积分为 A=∫[cost/(sint+cost)]dt
构造积分 B=∫[sint/(sint+cost)]dt

A+B=∫[(sint+cost)/(sint+cost)]dt=∫1dt=t+C1
A-B=∫[cost-sint/(sint+cost)]dt=∫d(sint+cost)/(sint+cost)=ln(sint+cost)+C2
解得
A=(1/2)[(A+B)+(A-B)]
=(1/2)[t+ln(sint+cost)]+C
其中 t=arcsinx

1年前

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fengyue98 幼苗

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1年前

1

玄武飞云 幼苗

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常数项部分可做重新合并,最终结果:

ln|x+√1-x²|/2 + arcsinx/2 + C

这里的C为重新合并后的常数=图片中的C- ln2/4 +π/8

1年前

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