如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒 3

如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
3
个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在x轴上.
(1)当t为何值时,点M与点O重合;
(2)求点P坐标和等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
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蓝泓6666 幼苗

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(1)点M与点O重合.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABO=30°,∠BAO=60°.
由OB=12,
∴AB=8
3 ,AO=4
3 .
∵△PON是等边三角形,
∴∠PON=60度.
∴∠AOP=30度.
∴AO=2AP,即4
3 =2
3 t,
解得t=2.
∴当t=2时,点M与点O重合.

(2)如图①,过P分别作PQ⊥OA于点Q,PS⊥OB于点S,
可求得AQ=
1
2 AP=

3 t
2 ,PS=QO=OA-AQ=4
3 -

3 t
2 .
QP=AQcos30°=
3 ×

3
2 t =
3
2 t.
∴点P坐标为(
3
2 t ,4
3 -

3 t
2 ).
在Rt△PMS中,sin60°=
PS
PM ,
∴PM=(4
3 -

3 t
2 )÷

3
2 =8-t.

(3)(Ⅰ)当0≤t≤1时,见图②.
设PN交EF于点G,
∵PM过F点时,OD⊥ED,ED ∥ FO而D为OB的中点,
∴E是AB的中点,
∵EF ∥ OD,
∴F也是AO的中点,
∴△FMO≌△AFP,
∴∠FMO=∠PAF=60°,
则重叠部分为直角梯形FONG,
作GH⊥OB于点H.
∵∠GNH=60°,GH=2
3 ,
∴HN=2.
∵MP=8-t,
∴BM=2MP=16-2t.
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t.
∴ON=MN-OM=8-t-(4-2t)=4+t.
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t.
∴S=
1
2 (2+t+4+t)×2
3 =2
3 t+6
3 .
∵S随t的增大而增大,
∴当t=1时,S 最大 =8
3 .
(Ⅱ)当1<t≤2时,见图③.
设PM交EF于点I,交FO于点Q,PN交EF于点G.
重叠部分为五边形OQIGN.
OQ=4
3 -2
3 t,FQ=2
3 -(4
3 -2
3 t)=2
3 t-2
3 ,FI=

3
3 FQ=2t-2.
∴三角形QFI的面积=
1
2 (2
3 t-2
3 )(2t-2)=2
3 (t 2 -2t+1).
由(Ⅰ)可知梯形OFGN的面积=2
3 t+6
3 ,
∴S=2
3 t+6
3 -2
3 (t 2 -2t+1)=-2
3 (t 2 -3t-2).
∵-2
3 <0,
∴当t=
3
2 时,S有最大值,S 最大 =
17
3
2 .
综上所述:当0≤t≤1时,S=2
3 t+6
3 ;当1<t≤2时,S=-2
3 t 2 +6
3 t+4
3 ;

17
3
2 >8
3 ,
∴S的最大值是
17
3
2 .

1年前

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