㏒10x=2,x=几多?,教我计这类题目不用计算机的方法

指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容.无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位.熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大.
一、 指数概念与对数概念：
指数的概念是由乘方概念推广而来的.相同因数相乘a•a……a(n个)=an导出乘方,这里的n为正整数.从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念.
欧拉指出：“对数源出于指数”.一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b
其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
ab=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数.当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算.指数运算与对数运算互逆的运算.
二、指数运算与对数运算的性质
1．指数运算性质主要有3条：
, , （a>0,a≠1,b>0,b≠1）
2．对数运算法则（性质）也有3条：
（1）
（2）logaM/N=logaM-logaN
（3）logaMn=nlogaM(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
3．指数运算与对数运算的关系：
X=alogax；mlogan=nlogam
4．负数和零没有对数；1的对数是零,即
loga1=0；底的对数是1,即logaa=1
5．对数换底公式及其推论：
换底公式：logaN=logbN/logba
推论1：logamNn=(n/m)logaN
推论2：
三、指数函数与对数函数
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数.它的基本情况是：
（1）定义域为全体实数（-∞,+∞）
（2）值域为正实数（0,+∞）,从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>0
（3）对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数.
（4）单调性是：当a>1时为增函数；当00,且a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是：
（1）定义域为正实数（0,+∞）
（2）值域为全体实数（-∞,+∞）
（3）对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数.
（4）单调性是：当a>1时是增函数,当0
例5．已知函数 (X∈R)
（1）求反函数y=f-1(x)
（2）判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数
分析：（1）求 的反函数首先用y把x表示出来,然后再对调x,y即得到y=f-1(x)；
（2）判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义,看当X∈R时是否有
f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
或f(-x)=f(x)恒成立.
（1）由 (X∈R)可得2y=10x-10-x,设10x=t,上式化为：2y=t-t-1两边乘t,得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0,解得：
由于t=10x＞0,故将 舍去,得到： 将t=10x代入上式,即得:

所以函数 的反函数是
(2)由 得:
=
∴
所以,函数 是奇函数.
说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数 (x∈R,a＞0,a≠1)的反函数是 ,它们都是奇函数.当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目.进一步还可以研究它们的单调性,如1992年高考数学试题：函数 的反函数
（A）是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数；
（B）是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数；
（C）是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数；
（D）是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.
②函数 是由y=f(x)=ax构造而得,全日制普通高级中学教科书（试验修订本.必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数,
求证：（1） 是偶函数；
（2） 是奇函数.
而 ,它说明,定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数 与一个偶函数 的代数和.从这个命题出发,由f(x)=ax就可以构造出诸多奇函数,比如, ； 等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底,作函数 , , 它们分别叫做双曲正弦函数,双曲余弦函数,双曲正切函数,它们具有如下性质：
(1)ch2(x)-sh2(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)•ch(y)+ch(x)•sh(y);
(3)ch(x+y)=ch(x)•ch(y)+sh(x)•sh(y);
(4) ;
(5)ch(-x)=ch(x);
(6)sh(-x)=-sh(x);
(7)th(-x)=-th(x).
令x=y,则有
(8)sh(2x)=2sh(x)•ch(x);
(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)
其中①⑧⑨合起来,就是课本P107的第8题.
例7．已知函数 (a＞0,a≠1)
（1）求f(x)的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；
（3）当a＞1时,求使f(x)＞0的x取值范围；
（4）求它的反函数
（1）由对数的定义域知 ＞0
解这个分式不定式,得： ＜0,-1＜x＜1
故函数f(x)的定义域为（-1,1）
（2） 由奇函数的定义知,函数f(x)是奇函数.
（3）由 ,
因为a＞1,所以由对数函数的单调性知 ,考虑由（1）知x＜1,1-x＞0,去分母,得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1
所以对于a＞1,当x∈(0,1)时函数f(x)＞0
（4）由 得： 得函数 的反函数
说明：（1）函数 与 是一对反函数.取a=e,函数 的反函数的定义域是 .这就是89年的高考题目.
（2）已知 ,a,b∈(-1,1)求证： （P89习题2.8第4题）可以看作该类函数的性质.
（3） 与 ； 与 ； 与 这三对互反函数及其性质需要理解记忆.
例8．22003的十进制表示是个P位数,52003的十进位表示是个q位数,则p+q= .
∵22003是个P位数,
∴10p-1＜22003＜10p ①
∵52003是个q位数,
∴10q-1＜52003＜10q ②
①×②得:10p+q-2＜(2×5)2003＜10p+q
即10p+q-2＜102003＜10p+q ③
∴2003=p+q-1
∴p+q=2004
例9．已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根,求实数a的范围.
方程有一正根一负根的充分必要条件是：
loga(a2-a)＜0（由韦达定理而来）①
由a＞0,a≠1,a2-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②,从而由loga(a2-a)＜0=loga1得:a2-a＜1,a2-a-1＜0,解得: ③,由②③得：
例10．设y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0),求使y为负值的x的取值范围
∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要
a2x+2(ab)x-b2x+1＞1,
即a2x+2(ab)x-b2x＞0
→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0
→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0
→
→∵
→ .
1°当a＞b＞0时,a/b＞1, ；
2°当b＞a＞0时,0＜a/b＜1,
3°当a=b＞0时,x∈R.
练习四
1．设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么（ ）
（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)
2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))•f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)( )
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数
3．若f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是（ ）
（A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞)
4．求值：6lg40×5lg36
5．已知m,n为正整数,a＞0,a≠1,且logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan.求m,n
6．X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间（ ）
（A）（-2,-1） （B）（1,2） （C）（-3,-2） （D）（2,3）
7．计算：
（1）lg20+log10025 (2)lg5•lg20+(lg2)2
8．若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则log8(x2+y2)= .
9．若x∈(1,10),则lg2x,lgx2,lglgx的大小顺序是：
（A）lg2x＜lgx2＜lglgx (B)lg2x＜lglgx＜lgx2
（C）lgx2＜lg2x＜lglgx (D)lglgx＜lg2x＜lgx2
10．计算：
11．集合{x∣-1≤log(1/x)10＜-(1/2),x∈N}的真子集的个数是 .
12．求函数y=(1/4)x2-2x-3的单调区间.
13．已知指数函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1),求满足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x的取值.
14．解方程8log6(x2-7x+15)=5log68
15．设有关于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a
（1）当a=1时,解这个不等式；
（2）当a为何值时,这个不等式的解集为R?
参考答案
1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2,n=2；
6.（D）；7.（1）2,（2）1；8.1/3；9.（D）；
10.1/2；11.290-1；12.单调增区间（-∞,1],单调减区间[1,+∞）
13.当a＞1时,x＜-2或x＞3,当0＜a＜1时,-2＜x＜3；
15.(1)x＜-3或x＞7,（2）a＜1