点P为正三角形ABC内一点,且PC=3CM,PB=4CM,PA=5CM,求∠BPC的度数

∠CPB＝150°
∵△ABC是等边三角形
∴CA＝AB＝BC,∠ACB＝∠CAB＝∠CBA＝60°
以点A为圆心,AP为半径,作圆弧
以点B为圆心,CP为半径,作圆弧
两段圆弧交△CAB的AB边外侧于点Q,连接AQ,BQ,PQ
则有：
BQ＝CP＝10 (作图)
AQ＝AP＝6 (作图)
AB＝AB (公共)
∴△BQA≌△CPA (SSS)
∴∠BAQ＝∠CAP
∴∠BAQ＋∠PAB＝∠CAP＋∠PAB
即∠PAQ＝∠CAB＝60°
而△PAQ是等腰三角形 (AP＝AQ)
∴△PAQ是正三角形
∴∠APQ＝60°,PQ＝AP＝6
在△PBQ中,PB＝8,PQ＝6,BQ＝10,
由余弦定理,得：
cos∠BPQ＝(PB^2＋PQ^2－BQ^2)/(2·PB·PQ)＝(8^2＋6^2－10^2)/(2·8·6)＝0
∴∠BPQ＝90°
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝60°＋90°＝150°
注：x^2表示x的平方.
另外我还有一个方法就是利用旋转和全等三角形证明：
把CPB绕C顺时针旋转60度
P就到了点O
你看COP是正三角形
CPB是直角三角形
所以CPB=90+60