已知△ABC和△BDE都是等边三角形．则下列结论：

∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，


AB=BC
∠ABE=∠CBD
BD=BE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
在△BGD和△BFE中，


∠BDC=∠AEB
AE=CD
∠DBG=∠FBE=60°
∴△BGD≌△BFE（ASA），
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG∥AD，
∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，
在△ABF和△CGB中，


BF=BG
∠ABF=∠CBG=60°
AB=BC，
∴△ABF≌△CGB（SAS），
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，
∴B、G、H、F四点共圆，
∵FB=GB，
∴∠FHB=∠GHB，
∴BH平分∠GHF，
∴题中①②③④⑤⑥都正确．
故答案为：①②③④⑤⑥．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握等边三角形的各种判定方法和全等三角形的判定方法是解题的关键．