1,1,2,3,5后面是什么

斐波纳契数列（Fibonacci Sequence）,又称黄金分割数列.在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0,F1=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2,n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊,专门刊载这方面的研究成果.
通项公式的推导
　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式： 　　
F(0) = 0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2), 　　
显然这是一个线性递推数列. 　　
方法一：利用特征方程（线性代数解法） 　　
线性递推数列的特征方程为： 　　
X^2=X+1 　　
解得 　　
X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2. 　　
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n. 　　
∵F(1)=F(2)=1. 　　
∴C1*X1 + C2*X2. 　　
C1*X1^2 + C2*X2^2. 　　
解得C1=√5/5,C2=-√5/5. 　　
∴F(n)=(√5/5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）. 　　
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 　　
设常数r,s. 　　
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]. 　　
则r+s=1, -rs=1. 　　
n≥3时,有. 　　
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]. 　　
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]. 　　
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]. 　　…… 　　
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]. 　　
联立以上n-2个式子,得： 　　
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]. 　　
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1. 　　
上式可化简得： 　　
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) . 　　
那么： 　　
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1). 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2). 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3). 　　
…… 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1). 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1). 　　
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）. 　　
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s). 　　
=(s^n - r^n)/(s-r). 　　
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2. 　　
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}. 　　
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 　　
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式. 　　
解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2)). 　　
得α+β=1. 　　
αβ=-1. 　　
构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2. 　　
所以. 　　
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1. 　　
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2. 　　
由式1,式2,可得. 　　
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3. 　　
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4. 　　
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.