(2006•西城区二模)如图,正四棱锥S-ABCD中,E是侧棱SC的中点,异面直线SA和BC所成角的

(2006•西城区二模)如图,正四棱锥S-ABCD中,E是侧棱SC的中点,异面直线SA和BC所成角的
大小是60°.
(1)求证:直线SA∥平面BDE;
(2)求二面角A-SB-D的大小;
(3)求直线BD和平面SBC所成角的大小.
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懒猪一小只 幼苗

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解题思路:(1)连AC交BD于点O,连结SO,OE,以O为坐标原点,OA,OB,OS所在直线为x,y,z轴建立空间坐标系,在平面BDE内找一向量使得向量
SA
与其共线,则可证明线面平行;
(2)分别求出二面角A-SB-D的两个半平面所在平面的法向量,利用法向量所成的角求解二面角的大小;
(3)求出平面SBC的一个法向量,利用向量
BD
与法向量所成的角求直线BD和平面SBC所成角的大小.

(1)证明:连AC交BD于点O,连结SO,OE.
根据正四棱锥的性质,得SO⊥面ABCD.以OA、OB、OS所在射线分别作为非负x轴、非负y轴、非负z轴建立空间直角坐标系.
因为异面直线SA和BC所成角的大小是60°,AD∥BC,所以∠SAD=60°,
因而△SDA是等边三角形,根据正棱锥的性质,得△SDC,△SBA,△SBC也是等边三角形.设AB=a,
则A(

2
2a,0,0),S(0,0,

2
2a),E(−

2
4a,0,

2
4a),B(0,

2
2a,0)
因为
.
AS=(−

2
2a,0,

2
2a),
.
OE=(−

点评:
本题考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法.

考点点评: 本题考查了直线与平面平行的判定,考查了线面角和二面角的求法,利用空间向量求空间角的大小能起到事半功倍的效果,是中档题.

1年前

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