一道初二几何题,在三角形ABC中,AE垂直BC于点E,AD是BC边的中线.求证AB^2-AC^2=2BC*DE.

证：因为AE垂直于BC,所以由勾股定理得
AB^2=BE^2+AE^2……①
AC^2=CE^2+AE^2……②
①-②可得
AB^2-AC^2=BE^2-CE^2……③（两边可以同时为负）
而BE=BD+DE,CE=CD-DE（DE可以为负值）
带入③,用完全平方展开,可得到
AB^2-AC^2=BD^2+2*BD*DE+DE^2-CD^2+2*CD*DE-DE^2
整理得到
AB^2-AC^2=（BD^2-CD^2）+2*（BD+CD）*DE
又因为BD=CD,且BD+CD=BC
所以AB^2-AC^2=2BC*DE
得证.
（此题用向量法证明将会更加简单,但估计初二还学不到,所以用这种方法.）

AB^2=AE^2+BE^2
AC^2=AE^2+CE^2
AB^2-AC^2=BE^2-CE^2
=(BD+DE)^2-(CD-DE)^2
=(BD+DE+CD-DE)*(BD+DE-CD+DE)
=(BD+CD)*(BD-CD+2DE)
=BC(BD-BD+2DE)
=2BC*DE

这题你抄错了

设BD=CD=x，DE=y，

在直角△ABE中：

AB²=AE²+（x+y）²（1）(其中：x+y=BE）

在直角△ACE中：

AC²=AE²+（x-y）²（2)（其中：x-y=CE）

（1）-（2）得：

AB²-AC²=（x+y）²-（x-y）²

=x²+2xy+y²-x²+2xy-y²

=4xy，

∵BC=2x，DE=y，

∴AB²-AC²=2BC*DE成立。