如图抛物线y=a（x+1）（x-4）的图像与直线y=1/3x-2相交于a、b两点,且该直线与x轴交与点p,交y轴与点a
如图抛物线y=a（x+1）（x-4）的图像与直线y=1/3x-2相交于a、b两点,且该直线与x轴交与点p,交y轴与点a
坐标轴上是否存在点m,使得三角形mab是直角三角形
坐标轴
坐标轴上是否存在点m,使得三角形mab是直角三角形
坐标轴
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如图：∵直线y=（1/3）x-2与x轴交与点p,交y轴与点a
易知a坐标为（0,-2）,p坐标为（6,0）
而抛物线与直线y=1/3x-2相交于a、b两点
所以a（0,-2）在抛物线上,代入抛物线解析式可得：-2=a（0+1）（0-4）
故a=1/2 注：（题干出现了两个a,要分清哪个是代数,哪个是点）
即抛物线解析式为：y=(1/2)（x+1）（x-4）
由此可通过直线及抛物线解析方程得出b点坐标为：b（11/3,-7/9）
假设存在点m（x,y）,使⊿mab为Rt⊿.
则由勾股定理可知(x-0)²+[y-（-2）]²+(11/3-0)²+[-7/9-(-2)]²=(x-11/3)²+[y-(-7/9)]²
简化可得y=-3x-2
因为m在抛物线上,故m（x,y）还满足y=(1/2)（x+1）（x-4）
由此可得：x=0或-3,
∵当x=0时,m（0,-2）与a点重合
∴存在点m当其位于坐标（-3,7）时,⊿mab为Rt⊿.
1年前 追问
10
错了
因为m在坐标轴上 且有5个点
非常抱歉，我没有看清题目，以为M在抛物线上。现在重新解答如下：
如图：∵直线y=（1/3）x-2与x轴交与点p，交y轴与点a
易知a坐标为（0，-2），p坐标为（6,0）
而抛物线与直线y=1/3x-2相交于a、b两点
所以a（0，-2）在抛物线上，代入抛物线解析式可得：-2=a（0+1）（0-4）
故a=1/2
即抛物线解析式为：y=(1/2)（x+1）（x-4）
由此可通过直线及抛物线解析方程得出b点坐标为：b（11/3,-7/9）
点M在坐标轴上且满足Rt⊿AMB，有以下三种可能：
（1）∠MAB=90°
易知AM所在直线斜率k×（1/3）=-1,且a（0，-2）在直线上，由此可得M坐标为（0，-2/3）和
（0，-2），除去与a点重合的坐标，此时的M点为（0，-2/3）
（2）∠MBA=90°
同（1），直线MB方程为y=-3x+92/9，此直线与坐标轴相交于M4（92/27,0）、M5（0,92/9）
（3）∠AMB=90°
设点M（x，y），使∠AMB=90°。
当x=0时，MB∥x轴，M2坐标为（0，-7/9）
当y=0时，x²+4+(11/3-x)²+(-7/9)²=(11/3)²+[-2-(7/9)]²简化可得9x²-33x+14=0
x=(33±√585)/18
即此时符合条件的M坐标为M3[(33+√585)/18,0],M6[(33-√585)/18,0]
综上，符合条件的点M有6个，坐标分别为（0，-2/3）、（92/27,0）、（0,92/9）、（0，-7/9）、[(33+√585)/18,0]、[(33-√585)/18,0]
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