如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°．

解题思路：延长CB到G，使GB=DF，连接AG，求证△ABG≌△ADF，得∠3=∠2，AG=AF，进而求证△AGE≌△AFE，可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF，分别计算正方形ABCD和△AEF的面积，即可得

SABCD

S△AEF

＝

AB2

1 2 EF×AB

＝

2AB

EF

，即可解题．

证明：（1）延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图）
∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3=∠2，AG=AF，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF，
∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE=EF，
∴DF+BE=EF；
（2）∵△AEF≌△AGE，
∴S_△AEF=S_△AGE，
∴S△AEF＝
1
2GE×AB＝
1
2EF×AB，
又S_ABCD=AB²，
∴
SABCD
S△AEF＝
AB2

1
2EF×AB＝
2AB
EF．

点评：
本题考点： 正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证S△AEF=S△AGE是解题的关键．

证明：延长CB，使BM=DF，连接AM
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD
角ABE=角BAD=角ADF=90度
因为角ABE+角ABM=180度
所以角ABM=角ADF=90度
所以直角三角形ABM和直角三角形ADF全等（SAS)
所以AM=AF
角BAM=角DAF
因为角BAE+角EAF+角DAF=角BAD=90度...

将三角形ADF沿着A点旋转至AB(把那个新的点叫做“H”)
∵BE+DF=FE
∴BE+BH=BE+DF=EH=EF
在⊿AFE和⊿AEH
{AH=AF
{AE=AE
{EF=EH
∴⊿AFE≌⊿AEH
∴∠FAE=∠EAF
又∠DAB=∠FAE=90°
∴∠EAF=45°
采纳我哦

作BF'=DF

AD=AB

△ADF≌△ABF'(SAS)

∠1=∠2 ， AF=AF'

因为∠1+∠3=45°

所以∠2+∠3=45°

AE=AE , ∠EAF'=∠EAF=45° , AF=AF'

△EAF'≌△EAF(SAS)

EF=EF'=EB+DF