如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形
如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B、D重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：∠ACM=30°；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出△AFM的周长
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：∠ACM=30°；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出△AFM的周长
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解题思路：（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA=
求解．
（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=
=
=
，得出△AFM的周长为3
．
| AB2−OB2 |
（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=
| AO2+FO2 |
| 52+42 |
| 41 |
| 41 |
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=[1/2]BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=
AB2−OB2=
132−122=5．
（2）证明：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中，∠ACM=180°-90°-60°=30°．
（3）如图3，连接EM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（1）知△AFM为等边三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，
AE＝AB
∠EAM＝∠BAF
AM＝AF，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO
∴[1/2]BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4，
AF=
AO2+FO2=
52+42=
41，
∴△AFM的周长为3
41．
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．
1年前
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