已知a，b为实数，a＞2，函数 f(x)=|lnx- a x |+b ，若 f(1)=e+1，f(2)= e 2 -ln

（1）由 f(1)=e+1，f(2)=
e
2 -ln2+1 ．
得：

|ln1-a|+b=e+1
|ln2-
a
2 |+b=
e
2 -ln2+1 ，
因为a＞2，所以，

a+b=e+1

a
2 -ln2+b=
e
2 -ln2+1 ，解得：a=e，b=1．
（2）由（1）知， f(x)=|lnx-
e
x |+1 ，
令 g(x)=lnx-
e
x ，则 g ′ (x)=
1
x +
e
x 2 =
x+e
x 2 ，
当x∈[1，e ² ]时g ^′ （x）＞0恒成立，
所以，g（x）在[1，e ² ]上为增函数，
所以g（x） _min =g（1）=-e， g(x ) max =g( e 2 )=ln e 2 -
e
e 2 =2-
1
e ．
所以， |lnx-
e
x |∈[0，e] ，
则函数f（x）在[1，e ² ]上的取值范围是[1，e+1]．
（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，
所以lnc≥0，ce≥0，
若1≤c＜e，
f(c)+f(d)=|lnc-
e
c |+|-lnc-ce| +2
=
e
c -lnc+lnc+ce+2 =
e
c +ce+2≥2

e
c •ce +2 =2e+2．
若c=e，
f(c)+f(d)=|lnc-
e
c |+|-lnc-ce| +2
=e ² +3．
若c＞e，
f(c)+f(d)=|lnc-
e
c |+|-lnc-ce| +2
= lnc-
e
c +lnc+ce+2
= 2lnc+e(c-
1
c )+2 ，
函数 h(c)=2lnc+e(c-
1
c )+2 为（e，+∞）上的增函数，
所以， f(c)+f(d)＞h(e)=2lne+e(e-
1
e )+2 =e ² +3．
因为e ² +3≥2e+2，
所以，当c=d=1时，f（c）+f（d）的最小值为2e+2．