在平面直角坐标系中有一个矩形ABCD,四个顶点的坐标分别是：A(4,0),B(4,2),C(8,2),D(8,0),并且

在平面直角坐标系中,有一个矩形ABCD,四个顶点的坐标分别为：A（4,0）、B（4,2）、C（8,2）、D（8,0）,并且有两个动点P和Q．P从原点O出发,沿x轴正方向运动；Q从A点出发,沿折线A-B-C-D方向在矩形的边上运动,且两点的运动速度均为每秒2个单位．当Q到达D点时,P也随之停止．设运动的时间为x．
（1）分别求出当x=1和x=3时,对应的△OPQ的面积；
（2）设△OPQ的面积为y,分别求出不同时段,y关于x的函数解析式,注明自变量的取值范围．并求出在整个运动过程中,△OPQ的面积的最大值；
（3）在P、Q运动过程中,是否存在两个时刻x1和x2,使得构成相应的△OP1Q1和△OP2Q2相似?若存在,直接写出这两个时刻,并证明两个三角形相似；若不存在,请说明理由．

考点：二次函数综合题；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：计算题；压轴题；动点型．
分析：（1）根据面积公式即可求出答案；
（2）在运动过程中看P、Q的位置,根据面积公式计算即可；
（3）利用勾股定理求出线段长,根据三边对应成比例,两三角形相似即可得出结论．
当x=1时,面积为：S=1/2×（4-2）×2=2,
当x=3时,面积为S=1/2 ×（3×2）×2=6,
答：当x=1时,△OPQ的面积是2,当x=3时,△OPQ的面积是6．

（2）当0≤x≤1时,y1=1/2•2x•2x=2x²,
∴,y1=2x²,
同法可求：
当1≤x≤3时,y2=2x；
当3≤x≤4时,y3=-2x²+8x）；
当x=3时,面积的最大值是6,
答：y1=2x²（0≤x≤1）；y2=2x（1≤x≤3）；y3=-2x²+8x（3≤x≤4）．在整个运动过程中,△OPQ的面积的最大值是6．

（3）当x1=1,x2=2时,△OP1Q1和△OP2Q2相似．
因为OP1＝2,P1Q1＝2根号2,OQ1＝2根号5；OP2＝4,P2Q2＝2根号2,OQ2＝2根号10
所以：OP1/Q2P2＝P1Q1/P2O＝OQ1/Q2O,
所以△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似．

点评：本题主要考查了二次函数,矩形的性质,相似三角形的性质和判定,三角形的面积,勾股定理等知识点,综合运用性质进行计算是解此题的关键．本题综合性比较强,有一定的难度．