（2010•南开区二模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3，a∈R），an+1=Sn+3n，n∈N*

解题思路：（Ⅰ）由数列递推式得到Sn+1−3n+1＝2(Sn−3n)，结合b_n=S_n-3ⁿ 可得数列{b_n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，则{b_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的{b_n}的通项公式得到Sn＝3n+(a−3)•2n−1．任何再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求解
数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由a_n+1≥a_n分离参数a，然后运用指数函数的单调性求解a的取值范围．

（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
又a_n+1=S_n+1-S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，即Sn+1＝2Sn+3n，
∴Sn+1−3n+1＝2(Sn−3n)．
∴b_n+1=2b_n．
又b₁=S₁-3=a₁-3≠0（a≠3），
∴数列{b_n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，
因此bn＝(a−3)•2n−1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n-3ⁿ =（a-3）•2^n-1．
∴Sn＝3n+(a−3)•2n−1．
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝[3n+(a−3)•2n−1]−[3n−1+(a−3)•2n−2]
=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2．
而当n=1时，2•3^n-1+（a-3）•2^n-2=2+（a-3）•2^-1≠a₁，
∴数列{a_n}的通项公式为an＝

a(n＝1)
2•3n−1+(a−3)•2n−2(n≥2)；
（Ⅲ）由a₂≥a₁，得2•3+（a-3）•1≥a，即3≥0，此时对任何a≠3的实数a恒成立；
当n≥2时，由a_n+1≥a_n，得
2•3ⁿ+（a-3）•2^n-1≥2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，
即（a-3）•2^n-2≥2•3^n-1-2•3ⁿ=-4•3^n-1．
∴a≥3−8•(
3
2)n−1．
∵n≥2时3-8•(
3
2)n−1的最大值为-9，
∴a≥-9且a≠3．
综上，所求a的范围是[-9，3）∪（3，+∞）．

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是构造出等比数列{bn}，是压轴题．