(2009•淄博一模)f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时f(x)=x2,若对任意的x∈[−2−2,2+2]不等式

(2009•淄博一模)f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时f(x)=x2,若对任意的x∈[−2−
2
,2+
2
]
不等式f(x+t)≤2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是(  )
A.[
2
,+∞)

B.(−∞,−
2
]

C.[4+3
2
,+∞)

D.(−∞−
2
,]∪[4+3
2
,+∞)
52899 1年前 已收到1个回答 举报

梦越风521 幼苗

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解题思路:先确定函数的单调性,再化抽象不等式为具体不等式,从而可得实数t的取值范围.

∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0 时,f(x)=x2
∴当x<0,有-x>0,f(-x)=(-x)2
∴-f(x)=x2,即f(x)=-x2
∴f(x)=

x2,(x≥0)
−x2,(x<0)
∴对任意的x∈[−2−
2,2+
2],函数为增函数
∵2f(x)=2x2=(
2x)2=f(
2x)
∴不等式f(x+t)≤2f(x)等价于不等式f(x+t)≤f(
2x)


−2−
2≤x+t≤2+
2
−2−
2≤
2x≤2+
2
x+t≤
2x


−2−
2−x≤t≤2+
2−x

2−1≤x≤
2+1
t≤(
2−1)x
∴t≤−
2
故选B.

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

考点点评: 本题考查函数单调性的应用,考查利用单调性处理不等式恒成立问题.将不等式化为(x+t)≤f(2x)是解题的关键.

1年前

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