（2012•贵州模拟）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将三角形BAO沿AO折起，使B点与

（Ⅰ）依题意得OA、OC、OB₁两两垂直，分别以射线OA、OC、OB₁为x、y、轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，0，1），C（0，1，0）
设平面B₁OC的法向量为

n，可得

n＝(1，0，0)
设平面AB₁C的法向量为

m=（x，y，z），

AB1＝(−2，0，1)，

AC＝(−2，1，0)
由



m•

AB1＝0


m•

AC＝0，可得

−2x+z＝0
−2x+y＝0，∴可取

m＝(1，2，2)
∴cos＜

m，

n＞＝


m•

n
|

m||

n|=[1/3]
∴二面角A-B₁C-O的大小为arcsin[1/3]；
（Ⅱ）存在，且P为线段AB₁的中点．证明如下：
设

AP＝λ

AB1＝(−2λ，0，λ)，则

CP＝

CA+

AP＝(2−2λ，−1，λ)
∵平面B₁OA的法向量为

m′=（0，1，0），CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为[2/3]
∴|


CP•

m′
|

CP||

m′||=
1

5λ2−8λ+5＝
2
3
∴20λ²-32λ+11=0
∴λ=[1/2]或λ=[11/10＞1（舍去）
∴P为线段AB₁的中点．

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查面面角、线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，，求平面的法向量是关键，属于中档题．

1年前

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