(2011•锦州)如图(1)~(3),已知∠AOB的平分线OM上有一点P,∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D,连

(2011•锦州)如图(1)~(3),已知∠AOB的平分线OM上有一点P,∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D,连接CD交OP于点G,设∠AOB=α(0°<α<180°),∠CPD=β.
(1)如图(1),当α=β=90°时,试猜想PC与PD,∠PDC与∠AOB的数量关系(不用说明理由);
(2)如图(2),当α=60°,β=120°时,(1)中的两个猜想还成立吗?请说明理由.
(3)如图(3),当α+β=180°时,
①你认为(1)中的两个猜想是否仍然成立,若成立请直接写出结论;若不成立,请说明理由.
②若
PD
PG
=2,求
PD
PO
的值.
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棉花糖_jojo 花朵

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(1)PC=PD,∠PDC=[1/2]∠AOB.

(2)成立.理由如下:
作PE⊥AO于E,PF⊥OB于F,如图.
∵OP平分∠AOB,
∴PE=PF.
在四边形EOFP中,
∵∠AOB=60°,∠PEO=∠PFO=90°,
∴∠EPF=120°,即∠EPC+∠CPF=120°.
又∠CPD=120°,即∠DPF+∠CPF=120°.
∴∠EPC=∠DPF.
∴△EPC≌△FPD.
∴PC=PD,
∴∠PDC=[180°−∠CPD/2]=30°.
∵∠AOB=60°,
∴∠PDC=[1/2]∠AOB,

(3)①成立,
②∵∠PDC=[1/2]∠AOB,
∠POD=[1/2]∠AOB,
∴∠PDC=∠POD.
又∠DPG=∠DPO,
∴△PGD∽△PDO.
∴[PD/PG]=[PO/PD].
又 [PD/PG]=2,
∴[PD/PO]=[1/2].

1年前

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