(2014•赤峰模拟)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB,N为AB上一点,AB=

(2014•赤峰模拟)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=
1
2
AB
,N为AB上一点,AB=4AN,M,D,S分别为PB,AB,BC的中点.
(1)求证:PA∥平面CDM;
(2)求证:SN⊥平面CDM.
77885217788521 1年前 已收到1个回答 举报

影子这儿 幼苗

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解题思路:(1)欲证PA∥平面CMD,根据线面平行的判定定理可知只需在平面CMD中找一直线平行PA,因为M,D,分别为PB,AB的中点,根据中位线定理可知MD∥PA,而MD⊂平面CMD,PA⊄平面CMD,满足定理条件;
(2)欲证SN⊥平面CMD,只需证明SN与平面CDMA中两条相交直线垂直即可,根据线面垂直的性质可知MD⊥SN,然后证明DN=DS,则SN⊥CD,又MD∩CD=D,满足定理所需条件.

证明:(1)在三棱锥P-ABC中 因为M,D,分别为PB,AB的中点,
所以MD∥PA
因为MD⊂平面CMD,PA⊄平面CMD,所以PA∥平面CMD….(5分)
(2)因为M,D,分别为PB,AB的中点,所以MD∥PA
因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC
又SN⊂平面ABC所以MD⊥SN…(9分)
在△ABC中,连接DS,因为D,S分别为AB,BC的中点
所以,DS∥AC且DS=
1
2AC
又AB⊥AC,所以,∠ADS=90°.因为AC=
1
2AB
所以AC=AD所以,∠ADC=45°,因此∠CDS=45°.
又AB=4AN所以DN=
1
2AD=
1
2AC
即DN=DS,故SN⊥CD…(12分)
又MD∩CD=D
所以SN⊥平面CMD….(13分)

点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

考点点评: 本题主要考查了线面平行的判定,以及线面垂直的判定,同时考查了推理论证的能力,属于中档题.

1年前

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