已知a＞0，f（x）=a•ex是定义在R上的函数，函数f−1(x)＝lnxa(x∈(0，+∞))，并且曲线y=f（x）在

解题思路：（1）由已知条件可知：函数f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲线y=f（x）只与y轴有交点M（0，a）；函数f−1(x)＝ln

x

a

(x∈(0，+∞))，所以曲线y=f^-1（x）只与x轴有交点N（a，0）．利用在其与坐标轴交点处的切线互相平行，可得f'（0）=[f^-1（a）]'，从而可求a=1．
（2）由（1）可得g(x)＝

x−m

lnx

(x∈(0，1)∪(1，+∞))，从而有当x＞0且x≠1时，g(x)＞

x

恒成立⇔

x−m

lnx

＞

x

恒成立．①当x∈（0，1）时，

x−m

lnx

＞

x

⇔m＞x−

x

lnx；②当x∈（1，+∞）时，

x−m

lnx

＞

x

⇔m＜x−

x

lnx
从而可解．

（1）由已知条件可知：函数f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲线y=f（x）只与y轴有交点M（0，a）；函数f−1(x)＝ln
x
a(x∈(0，+∞))，所以曲线y=f^-1（x）只与x轴有交点N（a，0）．
而f′(x)＝a•ex，[f−1(x)]′＝
1
x，
有f'（0）=[f^-1（a）]'，即a＝
1
a⇒a=±1．
而a＞0，即a=1．
（2）由（1）可得g(x)＝
x−m
lnx(x∈(0，1)∪(1，+∞))，从而有
当x＞0且x≠1时，g(x)＞
x恒成立⇔
x−m
lnx＞
x恒成立．
①当x∈（0，1）时，
x−m
lnx＞
x⇔m＞x−
xlnx
令φ(x)＝x−
xlnx，x∈(0，1]，则φ′(x)＝1−
lnx
2
x−
1

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；反函数；导数的运算．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，有一定的难度．