已知曲线C：x 2 +y 2 ﹣2x﹣4y+m=0
| 已知曲线C：x 2 +y 2 ﹣2x﹣4y+m=0 （1）当m为何值时，曲线C表示圆； （2）若曲线C与直线y=x+1交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值． |
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（1）由D 2 +E 2 ﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，
解得：m＜5；
（2）设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），
∵OM⊥ON，
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，
又y=x+1，
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 +（x 1 +1）（x 2 +1）=0，
∴2x 1 x 2 +（x 1 +x 2 ）+1=0③，
将直线方程y=x+1与曲线C：x 2 +y 2 ﹣2x﹣4y+m=0，
联立并消去y得：2x 2 ﹣4x+m﹣3=0，
由韦达定理得：x 1 +x 2 =2①，x 1 x 2 =
②，
将①、②代入③得：4+
+1=0，则m=﹣7．
解得：m＜5；
（2）设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），
∵OM⊥ON，
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，
又y=x+1，
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 +（x 1 +1）（x 2 +1）=0，
∴2x 1 x 2 +（x 1 +x 2 ）+1=0③，
将直线方程y=x+1与曲线C：x 2 +y 2 ﹣2x﹣4y+m=0，
联立并消去y得：2x 2 ﹣4x+m﹣3=0，
由韦达定理得：x 1 +x 2 =2①，x 1 x 2 =
②，将①、②代入③得：4+
+1=0，则m=﹣7．
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