一道高一必修一数学题···已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x∈（﹣2,0）时,f(x)＝（﹣5^x）÷（（2

在实数集R上的奇函数

∴f(0)=0
x∈（﹣2,0）时,f(x)＝（﹣5^x）÷（（25^x） +1）

x∈(0,2)时
-x∈（﹣2,0）
f(-x)＝（﹣5^(-x)）÷（（25^(-x)） +1）
=(-1/5^x)÷[(25^x+1)/(25^x)]
=-5^x÷（（25^x） +1）
在实数集R上的奇函数
f(x)=-f(-x)
=5^x÷（（25^x） +1）
x∈（﹣2,0）时,f(x)＝（﹣5^x）÷（（25^x） +1）
x=0时,f(x)=0
x∈(0,2)时,f(x)＝（5^x）÷（（25^x） +1）

(2)

f(x)在(-2,0)上递减,在(0,2)上递减
(3)
fx=β在（-2,2）上有实数解

f(2)=25/626
f(-2)=-25/625
∴有解
-1/2<β<-25/626
β=0
25/626<β<1/2

（1）

f(x)是定义在实数集R上的奇函数

=> f(0)=0

f(x)=-5^x/(25^x+1)=-5^x/(5^ 2x +1)=-1/(5^x+5^-x) x∈(-2,0)

令x∈(0,2)，此时-x∈(-2,0)，于是

f(x)=-f(-x)=1/(5^x+5^-x) x∈(0,2)

综合上述

f(x)=sgn(x)/(5^x+5^-x) x∈(-2,2)

（2）（3）

令x∈(0,2)，则v=5^x∈(1,25)，u=v+1/v∈(2,626/25)，g(u)=1/u∈(25/626,1/2)

反比例函数g(u)=1/u，u∈(2,626/25)单调递减

对号函数u(v)=v+1/v，v∈(1,25)单调递增

指数函数v(x)=5^x，x∈(0,2)单调递增

=> 复合函数f(x)=1/(5^x+5^-x) =g(u(v(x)))，x∈(0,2)单调递减

由f(x)是奇函数可知f(x)在x∈(-2,0)时也单调递减

【注】题目中(0,-2)这个区间输入有误，请查证；不能说f(x)在x∈(-2,2)时单调递减。

由奇函数性质可知，

当x∈(-2,2)时，f(x)∈(-1/2,-25/626)∪{0}∪(25/626,1/2)

因此，当β∈(-1/2,-25/626)∪{0}∪(25/626,1/2)时，方程f(x)=β在(-2,2)上有实数解。