微积分 函数 展成 幂级数 求详解

f(0)=π/4
f'(x)=1/[(1+x)^2/(1-x)^2+1]*(1-x+1+x)/(1-x)^2=1/(1+x^2)=1/[1-(-x^2)]
因为1/(1-x)=1+x+x^2+...
所以f'(x)=1+(-x^2)+(-x^2)^2+...=1-x^2+x^4+...+(-1)^k*x^(2k)+...
所以f(x)=π/4+x-x^3/3+x^5/5+...+(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1)+...（对f'(x)的展开式逐项积分）
f'(0)=1
f^(2k+1)(0)=0
f^(2k)(0)=(-1)^k*(2k)!(k>=1)
后面这些自己验证