已知正数x、y、z满足方程x²+xy+1/3 y²=25;1/3 y²+z²=9

已知正数x、y、z满足方程x²+xy+1/3 y²=25;1/3 y²+z²=9;z²+xz+x²=16
则xy+2yz+3zx=
急!!!
rvma 1年前 已收到1个回答 举报

时代先锋SZ 幼苗

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观察式子的特征
不难发现均为余弦定理的形式
x² - 2*x*(y/√3)*cos150° + (y/√3)² = 5²
(y/√3)² + z² = 3² (直角三角形)
z² - 2xzcos120° + x² = 4²
以上三式的三个夹角 150+90+120 = 360
而且 5² = 3²+4²,正好是直角三角形
于是可以构造以下图形:

根据面积关系
1/2 *y/√3 *x *sin150° + 1/2 * z * y/√3 + 1/2 xz sin120° = 1/2 *3*4
xy /(2√3) + yz /√3 + √3/2 xz = 12
xy + 2yz + 3 xz = 24√3

1年前

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