已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x1，x2∈[0，2]，且x1

∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
当x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函数y=f（x）是R上的偶函数
∴f（-2）=f（2）=0，故（1）正确；
由f（2）=0，知f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），故周期为4．
又由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₁时，都有
f(x1)−f(x2)
x1−x2＜0，
∴函数在区间[0，2]单调递减，
由函数是偶函数，知函数在[-2，0]上单调递增，
再由函数的周期为4，得到函数f（x）的示意图如下图所示：

由图可知：（1）正确，（2）正确，（3）错误，（4）正确
故答案：（1）（2）（4）．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误．