尺规作图,如何把一个角平均分成三份

1）.先说明尺规作图可能问题：

一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。

2）.定理：

一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。

3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的：

如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C

过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ，

令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：

cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0

由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)

所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。

另一个证明思路：

使用直尺作图等价于写出二元一次方程，使用圆规约略等价于写出二元二次方程，得到交点等价于解出二元二次方程组方程组，这个解一定是有理数（少数）或二次根数（多数）。

三等分角等价于已知已知一个角的三角函数值，要求这个角的三分之一的三角函数值。例如已知s=tan3A 求x=tanA.

因为tan3A=[3tanA-(tanA)^3]/[1-3(tanA)^2]

可以得到: x^3- 3sx^2-3x+s=0.

要解这个方程，一般地使用三次方程求根公式（Cardan formnla).（简单的不用）使用这个得出的根一般的是三次根数（极少数是有理数）。只使用二次方程是无法得到的。所以在一般情况下只用尺规三等分角是不可能的。