(2010•湖北模拟)如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,过D与PB垂直的平面分别

(2010•湖北模拟)如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E.PD=DC.
(1)求证:DE⊥PC
(2)求证:PA∥平面EDB;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
昨夜梦依旧 1年前 已收到1个回答 举报

想什么就什么 幼苗

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解题思路:(1)由PB⊥平面DEF,知PB⊥DE,由PD⊥平面ABCD,BC⊥DC,知BC⊥面PDC.由此能够证明DE⊥PC.
(2)连AC交BD于O,则O为AC的中点,E为PC的中点,EO∥PA.由PA⊄平面EDBEO⊂平面EDB,知PA∥平面EDB.
(3)设PD=DC=a,取DC的中点H,作HG∥CO交BD于G,则HG⊥DB,EH∥PD,EH⊥平面CDB.由三垂线定理知EG⊥BD,故∠EGH为二面角E-BD-C的一个二面角.由此能求出二面角E-BD-C的正切值.

(1)证明:∵PB⊥平面DEF∴PB⊥DE…(1分)
又∵PD⊥平面ABCD
又∵BC⊥DC∴BC⊥面PDC…(2分)
∴DE⊂平面PDC∴BC⊥DE
从而DE⊥平面PBC…(4分)
∴DE⊥PC…(5分)
(2)证明:连AC交BD于O,则O为AC的中点,
∴E为PC的中点,
∴EO∥PA…(6分)
又∵PA⊄平面EDBEO⊂平面EDB,
∴PA∥平面EDB…(8分)
(3)设PD=DC=1,∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA=1,BD=
2,
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,1,0),


DP=(0,0,1),

DB=(1,1,0),

PC=(0,1,−1),

PB=(1,1,−1),
设面PBD的法向量为

n1=(x1,y1,z1),则

点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定.

考点点评: 本题考查立体几何问题的综合应用,难度较大.解题时要认真审题,仔细观察,注意合理地进行等价转化,把立体问题转化为平面问题进行求解.

1年前

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