已知长方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=BC=4，AA 1 =8，E、F分别为AD和CC 1 的中

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。
（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D ₁ （0，0，0）、O ₁ （2，2，0）
B ₁ （4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、
F（0，4，4）。
=（-4，4，-4）， =（0，4，4），
=（-4，0，4）
=0+16-16=0， =16+0-16=0
∴AF⊥平面FD ₁ B ₁ .
证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC ₁ 上的射影，易证得BF⊥B ₁ F，
DF是AF在面DC ₁ 上的射影，也易证得DF⊥D ₁ F，所
以AF⊥平面FD ₁ B ₁ .
（Ⅱ）解法一： =（2，4，0）， =（-2，2，4）
设 与 的夹角为 ，则
= ……
解法二：在B ₁ C ₁ 上取点H，使B ₁ H=1，连O ₁ H和FH。
易证明O ₁ H∥EB，则∠FO ₁ H为异面直线EB与 F所成角。
又O ₁ H= BE= ，HF= =5，
O ₁ F= =2 ，
∴在△O ₁ HF中，由余弦定理，得

cos∠FO ₁ H= =