已知函数f（x）=e x -x （e为自然对数的底数）．

（1）f′（x）=e ^x -1　　　　　　　　　　　　　　
由f′（x）=0得x=0
当x＞0时f′（x）＞0．当x＜0时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减
∴f（x） _min =f（0）=1
（2）∵M∩P≠∅，∴ f(x)＞ax在区间[
1
2 ，2] 有解
由f（x）＞ax得e ^x -x＞ax
即 a＜
e x
x -1在[
1
2 ，2] 上有解 　　　　　　　
令 g(x)=
e x
x -1，x∈[
1
2 ，2]
∴ g′(x)=
(x-1) e x
x 2
∴ g(x)在[
1
2 ，1] 上减，在[1，2]上增
又 g(
1
2 )=2
e -1，g(2)=
e 2
2 -1 ，且 g(2)＞g(
1
2 )
∴ g(x) max =g(2)=
e 2
2 -1
∴ a＜
e 2
2 -1 　　　　　　　　　　　　　
（3）设存在等比数列{b _n }，b ₁ +b ₂ +…+b _n =S _n
∵S _n =∫ _t ⁿ [f（x）+x]dx=e ⁿ -e ^t
∴b ₁ =e-e ^t 　　　　　　　　　　　
n≥2时b _n =S _n -S _n-1 =（e-1）e ^n-1
当t=0时b _n =（e-1）e ^n-1 ，数{b _n }为等比数列
t≠0时
b 2
b 1 ≠
b 3
b 2 ，则数{b _n }不是等比数列
∴当t=0时，存在满足条件的数b _n =（e-1）e ^n-1 满足题意