设X、Y是度量空间,f : X→Y是连续映射,A在X中稠密,证明f(A)在f(X)中稠密

我对于拓扑和解析比较生疏,仅供您参考.
令 f :X ---> Y 是一个连续映射,A 是 X 的一个稠密子集,要证明 f(A) 是 f(X) 的稠密子集.
取 f(x) 属于 f(X) ,其中 x ∈ X.
[第一个思路]
我觉得这其实对于一般的拓扑空间 X ,Y 也成立.必须证明的是,点 f(x) 的每个开邻域( open neighborhood) V 都与集合 f(A) 相交.
用 U 表示 V 在映射 f 之下的原像,即
U = f^(-1) (V)
那么 f 连续说明 U 是 x 在 X 中的一个 开邻域 ; A 的稠密性意味着 U ∩ A 非空,于是显然 V ∩ f(A) 非空.
[第二个思路]
这次假定 X ,Y 是度量空间.
x 属于 " A 的闭包" 等价于说 存在 A 中的点列 (a_n) 收敛到 x ;
映射 f 连续保证了像的序列 ( f(a_n) ) 收敛到 f(x) ,这意味着 f(X) 含于 " f(A) 的闭包 " .

你好5.253