已知函数f（x）=a（x-[1/x]）-2lnx（a∈R），函数g（x）=-[a/x]，若至少存在一个x0∈[1，e]，

已知函数f（x）=a（x-[1/x]）-2lnx（a∈R），函数g（x）=-[a/x]，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x_o）＞g（x_o）成立，a的取值范围是______．

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sasbsc 幼苗

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解题思路：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即

＞

lnx

x]在[1，e]上有解，令h（x）=[lnx/x]，则h′（x）=

1−lnx

，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即[a/2＞
lnx
x]在[1，e]上有解，
令h（x）=[lnx/x]，则h′（x）=[1−lnx
x2，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴
a/2＞h(1)=0，
∴a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评：
本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

1年前

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