（2013•嘉兴模拟）已知函数f(x)＝12x2−(2a+2)x+(2a+1)lnx

（Ⅰ）f′（x）=x-（2a+2）+[2a+1/x]=
(x−2a−1)(x−1)
x （x＞0）
令f′（x）=0，得x₁=2a+1，x₂=1 …（1分）
①a=0时，f′（x）=
(x−1)2
x≥0，所以f（x）增区间是（0，+∞）；
②a＞0时，2a+1＞1，所以f（x）增区间是（0，1）与（2a+1，+∞），减区间是（1，2a+1）
③-[1/2]＜a＜0时，0＜2a+1＜1，所以f（x）增区间是（0，2a+1）与（1，+∞），减区间是（2a+1，1）
④a≤-[1/2]时，2a+1≤0，所以f（x）增区间是（1，+∞），减区间是 （0，1）…（5分）
（Ⅱ）因为a∈[
3
2，
5
2]，所以（2a+1）∈[4，6]，由（1）知f（x）在[1，2]上为减函数．…（6分）
若x₁=x₂，则原不等式恒成立，∴λ∈（0．+∞） …（7分）
若x₁≠x₂，不妨设1≤x₁＜x₂≤2，则f（x₁）＞f（x₂），[1
x1＞
1
x2，
所以原不等式即为：f（x₁）-f（x₂）≤λ（
1
x1−
1
x2），
即f（x₁）-
λ
x1≤f（x₂）-
λ
x2对任意的a∈[
3/2，
5
2]，x1，x2∈[1，2]，恒成立
令g（x）=f（x）-
λ
x]，所以对任意的a∈[
3
2，
5
2]，x1，x2∈[1，2]有g（x₁）＜g（x₂）恒成立，
所以g（x）=f（x）-[λ/x]在闭区间[1，2]上为增函数 …（9分）
所以g′（x）≥0对任意的a∈[
3
2，
5
2]，x1，x2∈[1，2]恒成立
而g′（x）=x-（2a+2）+

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．

1年前

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