(2013•南京一模)设正项数列{dn}的前n项和为sn,若∃M>0,对∀n∈N+,sn<M恒成立,则称{dn}为收敛数

(2013•南京一模)设正项数列{dn}的前n项和为sn,若∃M>0,对∀n∈N+,sn<M恒成立,则称{dn}为收敛数列.已知数列{an}为等差数列,a1=2,公差d为质数; {bn}为等比数列,b1=1,公比q的倒数为正偶数,且满足a2+a3+a4+a5
1
b3
+
1
b4
+
1
b5

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)是判断数列{an•bn}是否为收敛数列?若是,请证明;若不是请说明理由;
(3)设cn
dn
(1+d1)(1+d2)…(1+dn)
(n∈N+)
,试判断数列{cn}是否为收敛数列?若是,请证明;若不是请说明理由.
vi7ian 1年前 已收到1个回答 举报

刺玫瑰AITA 幼苗

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解题思路:(1)由a2+a3+a4+a5=[1b3+
1
b4
+
1
b5
,可求得4(2.5d+2)=
1
q2
(1+
1/q]+[1
q2
),据题意,可分析得到q=
1/2],d=2,从而可求得数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)由于an•bn=n×(
1
2
)
n−2
,其前n项和Sn=2+2+1.5+…+(n-2)×(
1
2
)
n−4
+(n-1)×(
1
2
)
n−3
+n×(
1
2
)
n−2
①,0.5Sn=1+1+0.75+…+(n-2)(
1
2
)
n−3
+(n-1)×(
1
2
)
n−2
+n×(
1
2
)
n−1

利用错位相减法可求得Sn=8-(2+n)×(
1
2
)
n−2
<8,从而可判断数列{an•bn}是否为收敛数列.
(3)利用放缩法可求得cn
1
d1+d2+…+dn−1
,从而可证数列{dn}的前n项和为sn
1
cn+1
,从而可得答案.

(1)∵a2+a3+a4+a5=[1
b3+
1
b4+
1
b5,
即4a1+10d=
1
q2+
1
q3+
1
q4,∵a1=2,
∴4(2.5d+2)=
1
q2(1+
1/q]+[1
q2)
∵4是正偶数和完全平方数,
1
q2是正偶数,2.5d+2是质数,1+
1/q]+[1
q2是质数,

1
q2=4,2.5d+2=1+
1/q]+[1
q2
∴q=
1/2],d=2.
∴an=2n,bn=(
1
2)n−1;
(2)an•bn=2n×(
1
2)n−1=n×(
1
2)n−2,
∴Sn=2+2+1.5+…+(n-2)×(
1
2)n−4+(n-1)×(
1
2)n−3+n×(

点评:
本题考点: 等差数列与等比数列的综合.

考点点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查错位相减法求和与放缩法证明不等式,突出分析求解与推理运算能力,属于难题

1年前

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