已知矩阵A=1a−3−14−31−25的特征值有重根且A可对角化,求可逆矩阵P,使P-1AP为对角形矩阵.

郑贵东 1年前 已收到1个回答 举报

zhufukuer520 幼苗

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解题思路:首先,写出A的特征多项式;然后,根据有重根,讨论出a的值;最后,求出相应的特征向量,得到矩阵P即可.

由于A的特征多项式为
|λE−A|=
.
λ−1−a3
1λ−43
−12λ−5.=(λ-2)(λ2-8λ+a+10)=0
要使得,A的特征值有重根
①当△=64-4(a+10)=0时,即a=6,此时有重根λ=4
且r(4E-A)=2,因此属于特征值4的线性无关的特征向量只有一个
因而不能对角化
②当a=2时,此时有重根λ=2
且r(2E-A)=1,容易求得(2E-A)x=0的基础解系为:
α1=(−3,0,1)T,α2=(2,1,0)T
又另一个特征值为λ=6,且(6E-A)x=0的基础解系为:
α3=(−1,−1,1)T
∴存在可逆矩阵P=

−32−1
01−1
101,使得P-1AP=diag(2,2,6)

点评:
本题考点: 矩阵可相似对角化的充分必要条件.

考点点评: 此题考查矩阵的特征值、特征向量的求法以及矩阵可以对角化的条件.一个n阶矩阵A是否可以对角化,是看这个矩阵A是否有n个线性无关的特征向量.因此问题就是转化为求矩阵A的特征向量.

1年前

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