高中数学解析几何专题汇编题（【经典题】【真题】【模拟题】） 越多越好 答案要精确解析.

21． (1)因为e1e2＝32,所以a2－b2a•a2＋b2a＝32,即a4－b4＝34a4,因此a2＝2b2,从而F2(b,0),
F4(3b,0),于是3b－b＝|F2F4|＝3－1,所以b＝1,a2＝2.故C1,C2的方程分别为x22＋y2＝1,x22－y2＝1.


(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(－1,0),故可设直线AB的方程为x＝my－1,由x＝my－1,x22＋y2＝1得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1＋y2＝2mm2＋2,y1y2＝－1m2＋2.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－4m2＋2,于是AB的中点为M－2m2＋2,mm2＋2,故直线PQ的斜率为－m2,PQ的方程为y＝－m2x,即mx＋2y＝0.
由y＝－m2x,x22－y2＝1得(2－m2)x2＝4,所以2－m2>0,且x2＝42－m2,y2＝m22－m2,从而|PQ|＝2x2＋y2＝2m2＋42－m2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d＝|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|m2＋4.因为点A,B在直线mx＋2y＝0的异侧,所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________．
15.22　
15．[2014•辽宁卷] 已知椭圆C：x29＋y24＝1,点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|＋|BN|＝______．
15．12　
20．、[2014•辽宁卷] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图1­6所示)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P且离心率为3.

图1­6

(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点．若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程．
20．(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为－x0y0,切线方程为y－y0＝－x0y0(x－x0),即x0x＋y0y＝4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为4x0,0,0,4y0.故其围成的三角形的面积S＝12•4x0•4y0＝8x0y0.由x20＋y20＝4≥2x0y0知,当且仅当x0＝y0＝2时x0y0有最大值2,此时S有最小值4,因此点P的坐标为(2,2)．
由题意知2a2－2b2＝1,a2＋b2＝3a2,
解得a2＝1,b2＝2,故C1的方程为x2－y22＝1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－3,0),(3,0),由此可设C2的方程为x23＋b21＋y2b21＝1,其中b1>0.
由P(2,2)在C2上,得23＋b21＋2b21＝1,
解得b21＝3,
因此C2的方程为x26＋y23＝1.
显然,l不是直线y＝0.
设直线l的方程为x＝my＋3,点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x＝my＋3,x26＋y23＝1,得(m2＋2)y2＋2 3my－3＝0.
又y1,y2是方程的根,因此
y1＋y2＝－2 3mm2＋2,　　　　　　　 　 　　　 ①y1y2＝－3m2＋2,
②

由x1＝my1＋3,x2＝my2＋3,得
x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2 3＝4 3m2＋2 ,　　　　　③x1x2＝m2y1y2＋3m（y1＋y2）＋3＝6－6m2m2＋2.　　④
因为AP→＝(2－x1,2－y1),BP→＝(2－x2,2－y2),由题意知AP→•BP→＝0,
所以x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0,⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2－2 6m＋4 6－11＝0,
解得m＝3 62－1或m＝－62＋1.
因此直线l的方程为
x－(3 62－1)y－3＝0或x＋(62－1)y－3＝0.
6．[2014•全国卷] 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点．若△AF1B的周长为43,则C的方程为(　　)
A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1
C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1
6．A　
20．、、[2014•新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0,－2),椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程．
20．(1)设F(c,0),由条件知,2c＝233,得c＝3.
又ca＝32,所以a＝2,b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为x24＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,
故可设l：y＝kx－2,P(x1,y1),Q(x2,y2)．
将y＝kx－2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0,
当Δ＝16(4k2－3)>0,即k2>34时,
x1,2＝8k±24k2－34k2＋1,
从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|
＝4k2＋1•4k2－34k2＋1.
又点O到直线l的距离d＝2k2＋1.
所以△OPQ的面积
S△OPQ＝12d•|PQ|＝44k2－34k2＋1.
设4k2－3＝t,则t>0,S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.
因为t＋4t≥4,当且仅当t＝2,即k＝±72时等号成立,满足Δ>0,
所以,当△OPQ的面积最大时,k＝±72,l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.
20．、、[2014•新课标全国卷Ⅱ] 设F1,F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|＝
5|F1N|,求a,b.
20．(1)根据c＝a2－b2及题设知Mc,b2a,2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac,
解得ca＝12,ca＝－2(舍去)．
故C的离心率为12.
(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a＝4,即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1b>0,y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为32.
(1)求a,b的值；
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程．

图1­5
20．(1)在C1,C2的方程中,令y＝0,可得b＝1,且A(－1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c,由ca＝32及a2－c2＝b2＝1得a＝2,
∴a＝2,b＝1.
(2)方法一：由(1)知,上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)．
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y＝k(x－1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式,得xP＝k2－4k2＋4,从而yP＝－8kk2＋4,
∴点P的坐标为k2－4k2＋4,－8kk2＋4.
同理,由y＝k（x－1）（k≠0）,y＝－x2＋1（y≤0）,
得点Q的坐标为(－k－1,－k2－2k)．
∴AP→＝2kk2＋4(k,－4),AQ→＝－k(1,k＋2)．
∵AP⊥AQ,
∴AP•AQ＝0,即－2k2k2＋4[k－4(k＋2)]＝0,
∵k≠0,
∴k－4(k＋2)＝0,解得k＝－83.
经检验,k＝－83符合题意,
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0),比照方法一给分．
20．,[2014•陕西卷] 如图1­5所示,曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为32.
(1)求a,b的值；
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程．

图1­5
20．(1)在C1,C2的方程中,令y＝0,可得b＝1,且A(－1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c,由ca＝32及a2－c2＝b2＝1得a＝2,
∴a＝2,b＝1.
(2)方法一：由(1)知,上半椭圆C1的方程为y24＋x2＝1(y≥0)．
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y＝k(x－1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式,得xP＝k2－4k2＋4,从而yP＝－8kk2＋4,
∴点P的坐标为k2－4k2＋4,－8kk2＋4.
同理,由y＝k（x－1）（k≠0）,y＝－x2＋1（y≤0）,
得点Q的坐标为(－k－1,－k2－2k)．
∴AP→＝2kk2＋4(k,－4),AQ→＝－k(1,k＋2)．
∵AP⊥AQ,
∴AP•AQ＝0,即－2k2k2＋4[k－4(k＋2)]＝0,
∵k≠0,
∴k－4(k＋2)＝0,解得k＝－83.
经检验,k＝－83符合题意,
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0),比照方法一给分．
18．、[2014•天津卷] 设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率．
18．(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．
由|AB|＝32|F1F2|,可得a2＋b2＝3c2.
又b2＝a2－c2,则c2a2＝12,
所以椭圆的离心率e＝22.
(2)由(1)知a2＝2c2,b2＝c2.
故椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1.
设P(x0,y0)．由F1(－c,0),B(0,c),
有F1P→＝(x0＋c,y0),F1B→＝(c,c)．
由已知,有F1P→•F1B→＝0,即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0,故有x0＋y0＋c＝0.①
又因为点P在椭圆上,
所以x202c2＋y20c2＝1.②
由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点,故x0＝－43c.代入①得y0＝c3,即点P的坐标为－4c3,c3.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1＝－43c＋02＝－23c,y1＝c3＋c2＝23c,进而圆的半径r＝（x1－0）2＋（y1－c）2＝53c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切,可得|kx1－y1|k2＋1＝r,即k－2c3－2c3k2＋1＝53c,整理得k2－8k＋1＝0,解得k＝4±15,
所以直线l的斜率为4＋15或4－15.
21．、[2014•浙江卷] 如图1­6,设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限．
(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

图1­6
21．(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(kb>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,|F1F2||DF1|＝22,△DF1F2的面积为22.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径．

图1­4
21．(1)设F1(－c,0),F2(c,0),其中c2＝a2－b2.
由|F1F1||DF1|＝22得|DF1|＝|F1F2|22＝22c.
从而S△DF1F2＝12|DF1||F1F2|＝22c2＝22,故c＝1.
从而|DF1|＝22,由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝92,因此|DF2|＝322,
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22,故a＝2,b2＝a2－c2＝1.
因此,所求椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)如图所示,设圆心在y轴上的圆C与椭圆x22＋y2＝1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2＝－x1,y1＝y2,|P1P2|＝2|x1|.

由(1)知F1(－1,0),F2(1,0),所以F1P1→＝(x1＋1,y1),F2P2→＝(－x1－1,y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y21＝0.由椭圆方程得1－x212＝(x1＋1)2,即3x21＋4x1＝0,解得x1＝－43或x1＝0.
当x1＝0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在．
当x1＝－43时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|,故圆C的半径|CP1|＝22|P1P2|＝2|x1|＝423.

H6　双曲线及其几何性质
9．、[2014•湖北卷] 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2＝π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A.433 B.233 C．3 D．2
9．A　

11．[2014•北京卷] 设双曲线C经过点(2,2),且与y24－x2＝1具有相同渐近线,则C的方程为________；渐近线方程为________．
11.x23－y212＝1　y＝±2x　
9．[2014•全国卷] 已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|,则cos∠AF2F1＝(　　)
A.14 B.13 C.24 D.23
9．A　

19．、[2014•福建卷] 已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x,l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图1­6,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程；若不存在,说明理由．


图1­6
19．方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x,y＝－2x,
所以ba＝2,
所以c2－a2a＝2,
故c＝5a,
从而双曲线E的离心率
e＝ca＝5.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为x2a2－y24a2＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|＝a,|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8,

所以12|OC|•|AB|＝8,
因此12a•4a＝8,解得a＝2,
此时双曲线E的方程为x24－y216＝1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x24－y216＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时,双曲线E：x24－y216＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m,依题意,得k>2或k