设函数f（x）=e x ．（I）求证：f（x）≥ex；（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t））（其中t＜0）处的

（I）证明：设g（x）=e ^x -ex，∴g′（x）=e ^x -e，
由g′（x）=e ^x -e=0，得x=1，
∴在区间（-∞，1）上，g′（x）＜0，
函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减，
在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
g（x）≥g（1）=0，
∴f（x）≥ex．
（II）∵f′（x）=e ^x ，∴曲线y=f（x）在点P外切线为l：y-e ^t =e ^t （x-t），
切线l与x轴的交点为（t-1，0），与y轴的交战为（0，e ^t -te ^t ），
∵t＜0，∴S=S（t）=
1
2 (1-t)•(1-t) e t =
1
2 (1-2t+ t 2 ) e t ，
∴ S ′ =
1
2 e t ( t 2 -1) ，
在（-∞-1）上，S（t）单调增，在（-1，0）上，S（t）单调减，
∴当t=-1时，S有最大值，此时S=
2
e ．