关于黎曼几何:过直线外一点没有一条直线能与该直线平行

现在一般意义上的黎曼几何是非常宽泛的概念. 粗略的说, 黎曼几何就是在每个局部定义了距离的几何学, 球面几何当然是其特例. 所谓技术问题只是出现在要把球面几何作为椭圆几何模型的时候, 因为球面几何不止违反了平行公理, 但是这与其为黎曼几何没有关系. 按照个人粗浅的理解, 在广义相对论中之所以要使用(广义)黎曼几何, 就是为了刻画时空度量随物质分布的改变. 你们老师讲球面几何的例子, 大概是为了显示黎曼几何与欧式几何的不同, 并非要将其作为椭圆几何的模型来介绍. 黎曼几何中的测地线的每个"小段"都是连接两点的最短线. 这一点你可以参考欧式几何(其实也是黎曼几何的特例)中的直线. 当然直线不仅"小段"是最短的, 而且是其上任意两点间的最短线. 在球面几何中, 大圆的劣弧是最短线, 但是优弧不是, 所以要加上"小段"的限制. 稍微想像一下就可以知道, 一般情况下连接两点的最长线是不存在的. 黎曼几何对曲率没有限制. 像球面几何是常正曲率, 欧式几何是零曲率, Poincare圆盘是常负曲率. 此外还有各种曲率可变的空间, 可以既有正曲率的点又有负曲率的点. 如果是广义相对论课程的话, 应该会讲黎曼几何的基础吧. 数学教材当然有, 不过讲法有所不同, 而且需要先修微分几何, 微分流形等. 所以建议还是找广义相对论的教材来看.