写出二次型f=x^2 x^2-x^2 4x1x2写出二次型对应的矩阵A,求A的特征值及特征向量.

二次型矩阵
A=
1 2 0
2 1 0
0 0 -1
设矩阵A的特征值为λ
那么|A-λE|
=1-λ 2 0
2 1-λ 0
0 0 -1-λ
=(-1-λ)*(λ^2 -2λ-3)=0
解得特征值λ= -1,-1,3
当λ= -1时,A+E=
2 2 0
2 2 0
0 0 0 第2行减去第1行,第1行除以2
1 1 0
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(-1,1,0)^T和(0,0,1)^T
当λ=3时,A-3E=
-2 2 0
2 -2 0
0 0 -2 第2行加上第1行,第1行除以-2,第3行除以-2,交换第2和第3行
1 -1 0
0 0 1
0 0 0
得到特征向量(1,1,0)^T