(2012•浦东新区一模)定义数列{xn},如果存在常数p,使对任意正整数n,总有(xn+1-p)(xn-p)<0成立,

(2012•浦东新区一模)定义数列{xn},如果存在常数p,使对任意正整数n,总有(xn+1-p)(xn-p)<0成立,那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”.
(1)设an=2n-1,bn=(−
1
2
)n
,n∈N*,判断{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”,并说明理由;
(2)已知“p-摆动数列”{cn}满足cn+1=[1cn+1
小猫叼小叶 1年前 已收到1个回答 举报

vicky0413 花朵

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解题思路:(1)根据题目给出的摆动数列的定义,对数列{an}加以验证,看是否存在常数p,使得2n-1<p<2n+1对任意n成立,只要n去不同的值1,2,即可发现p不存在,而对于数列{bn},满足bnbn+1=(−
1
2
)2n+1<0
对任意n成立,所以,p可取值为0;
(2)由数列{cn}是“p-摆动数列”,且满足cn+1=
1
cn+1
,c1=1,求出c2后可断定常数p的初步范围,再由(xn+1-p)(xn-p)<0对任意正整数n成立,得出数列的奇数项都小于p,偶数项都大于p,或奇数项都大于p,偶数项都小于p,然后利用“两边夹”的办法可求p的值;
(3)由dn=(-1)n•(2n-1),求出数列{dn}的前n项和,由前n项和看出p=0时即可使数列{Sn}满足“p-摆动数列”的定义,然后根据数列{Sn}在n为奇数和n为偶数时的单调性即可求出p的范围.

(1)假设数列{an}是“p-摆动数列”,
即存在常数p,总有2n-1<p<2n+1对任意n成立,
不妨取n=1时,则1<p<3,取n=2时,则3<p<5,显然常数p不存在,
所以数列{an}不是“p-摆动数列”;
由bn=(−
1/2)n,于是bnbn+1=(−
1
2)2n+1<0对任意n成立,其中p=0.
所以数列{bn}是“p-摆动数列”.
(2)由数列{cn}为“p-摆动数列”,又c1=1,所以c2=
1
2],
即存在常数[1/2<p<1,使对任意正整数n,总有(cn+1-p)(cn-p)<0成立;
即有(cn+2-p)(cn+1-p)0,
所以c1>p⇒c3>p⇒…⇒c2n-1>p.
同理c2<p⇒c4<p⇒…⇒c2n<p.
所以c2n<p<c2n-1
1
c2n−1+1<c2n−1,解得c2n−1>

5−1
2],
即p≤

5−1
2.
同理[1
c2n+1>c2n,解得c2n<

5−1/2],即p≥

5−1
2.
综上

点评:
本题考点: 等差数列与等比数列的综合.

考点点评: 本题是新定义下的等差数列和等比数列综合题,考查了学生的发散思维能力,解答此题的关键是在理解定义的基础上,把问题转化为熟悉的知识来解决,用到了证明不等式的“两边夹”的方法,此题是有一定难度的问题.

1年前

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