设a1,...,ap为正数(p>=2),求极限lim(x->0+) [(a1^x+a2^x+...+ap^x)/p]^(
设a1,...,ap为正数(p>=2),求极限lim(x->0+) [(a1^x+a2^x+...+ap^x)/p]^(1/x)
小弟还没学到洛必达法则和等价无穷小,大神看看能不能证
小弟还没学到洛必达法则和等价无穷小,大神看看能不能证
赞 livewilling 春芽
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=lim(x->0+) [1+(a1^x+a2^x+...+ap^x-p)/p]^{[p/(a1^x+a2^x+...+ap^x-p)]*[(a1^x+a2^x+...+ap^x-p)/px]}
运用两个重要极限之一：lim(x->0) (1+x)^(1/x)=e
=lim(x->0+) e^[(a1^x+a2^x+...+ap^x-p)/px]
=e^{lim(x->0+)(a1^x-1)/px+lim(x->0+)(a2^x-1)/px+...+lim(x->0+)(ap^x-1)/px}
=e^(lna1/p+lna2/p+...+lnap/p)
=(a1a2...ap)e^(-p)
运用两个重要极限之一：lim(x->0) (1+x)^(1/x)=e
=lim(x->0+) e^[(a1^x+a2^x+...+ap^x-p)/px]
=e^{lim(x->0+)(a1^x-1)/px+lim(x->0+)(a2^x-1)/px+...+lim(x->0+)(ap^x-1)/px}
=e^(lna1/p+lna2/p+...+lnap/p)
=(a1a2...ap)e^(-p)
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