如图所示，已知A点的坐标为（-1，0），点B的坐标是（9，0）以AB为直径作⊙O′，交y轴负半轴于点C，连接AC、BC，

（1）AB是⊙O'的直径
∴AC⊥BC
又OC⊥AB
∴△OAC∽△OCB
∴[AO/CO＝
CO
BO]
∴CO＝
AO•BO＝3
∴C（0，-3）（1分）
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
抛物线过A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3）
∴

a−b+c＝0
81a+9b+c＝0
c＝−3解得

a＝
1
3
b＝−
8
3
c＝−3（2分）
所求抛物线解析式为y＝
1
3x2−
8
3x−3（3分）

（2）连接O'D，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=[1/2]∠DO'B=45°
∴∠DO'B=90°
又DO′＝
1
2AB=5
∴D（4，-5）（1分）
设直线BD的解析式为y=kx+b，则

9k+b＝0
4k+b＝−5解得

k＝1
b＝−9（2分）
直线BD的解析式为y=x-9．（3分）

（3）设点P（x，[1/3x2−
8
3x−3）
过点P作PH⊥x轴于H，交直线CD于M，
易得直线CD的解析式为y＝−
1
2x−3，则M（x，−
1
2x−3）
易知直线CD与抛物线交点为C（0，-3）和N（
13
2]，−
25
4）
∵S_△BCD=S_{四边形ACDB}-S_△ABC
=S_△AOC+S_梯形OCDO'+S_△BO′D-S_△ABC
[1×3/2+
3+5
2×4+
5×5
2−
10×3
2]=15（1分）
设△PCM与△PDM中，边PM上的高分别为h₁和h₂，则
1当0＜x≤42时，如图（1）S△PCD＝S△CPM+S△DPM＝
PM
2(h1+h2)＝
1
2[(−
1
2x−3)−(
1
3x2−
8
3x−3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1＝
3
2，x₂=5＞4（舍去）
∴P₁（[3/2]，−
25
4）（2分）
3当4＜x＜
13
2时，如图（2）S△PCD＝S△CPM−S△DPM＝
PM
2(h1−h2)＝
1
2[(−
1
2x−3)−(
1
3x2−
8
3x−3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1＝
3
2＜4（舍去），x₂=5
∴P₂（5，-8）（3分）
5当[13/2＜x＜96时，如图（3）S△PCD＝S△CPM−S△DPM＝
PM
2(h1−h2)＝
1
2[(
1
3x2−
8
3x−3)−(−
1
2x−3)]×4=5
即2x²-13x-15=0
解得x1＝
15
2]，x₂=-1＜0（舍去）
∴P₃（[15/2]，−
17
4）
所有求点P的坐标是P₁（[3/2]，−
25
4）、P₂（5，-8）或P₃（[15/2]，−
17
4）（4分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．