如图，以△ABC的边AC为直径的半圆交AB于D，三边长a，b，c能使二次函数 y= 1 2 (c+a) x 2 -bx+
如图，以△ABC的边AC为直径的半圆交AB于D，三边长a，b，c能使二次函数 y=
（1）证明：∠ACB=90°； （2）若设b=2x，弓形面积S 弓形AED =S 1 ，阴影部分面积为S 2 ，求（S 2 -S 1 ）与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当b为何值时，（S 2 -S 1 ）最大？  |
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（1）因为二次函数y=
1
2 （a+c）x 2 -bx+
1
2 （c-a）的顶点在x轴上，
∴△=0，
即b 2 -4×
1
2 （a+c）×
1
2 （c-a）=0，
∴c 2 =a 2 +b 2 ，
得∠ACB=90°，
或者从抛物线顶点的纵坐标为零求得
y=
4×
1
2 (a+c)×
1
2 (c-a)- b 2
4×
1
2 (a+c) =0，
可得c 2 =a 2 +b 2 ；
（2）∵z 2 +z-20=0．
∴z 1 =-5，z 2 =4，
∵a＞0，得a=4，
设b=AC=2x，有S △ABC =
1
2 AC•BC=4x，S 半圆 =
1
2 πx 2 ，
∴S 2 -S 1 =S △ABC -（S 半圆 -S 1 ）-S 1 =S △ABC -S 半圆 =-
π
2 x 2 +4x，
（3）S 2 -S 1 =-
π
2 （x-
4
π ） 2 +
8
π ，
∴当x=
4
π ，
即b=
8
π 时，（S 2 -S 1 ）有最大值
8
π ．
1
2 （a+c）x 2 -bx+
1
2 （c-a）的顶点在x轴上，
∴△=0，
即b 2 -4×
1
2 （a+c）×
1
2 （c-a）=0，
∴c 2 =a 2 +b 2 ，
得∠ACB=90°，
或者从抛物线顶点的纵坐标为零求得
y=
4×
1
2 (a+c)×
1
2 (c-a)- b 2
4×
1
2 (a+c) =0，
可得c 2 =a 2 +b 2 ；
（2）∵z 2 +z-20=0．
∴z 1 =-5，z 2 =4，
∵a＞0，得a=4，
设b=AC=2x，有S △ABC =
1
2 AC•BC=4x，S 半圆 =
1
2 πx 2 ，
∴S 2 -S 1 =S △ABC -（S 半圆 -S 1 ）-S 1 =S △ABC -S 半圆 =-
π
2 x 2 +4x，
（3）S 2 -S 1 =-
π
2 （x-
4
π ） 2 +
8
π ，
∴当x=
4
π ，
即b=
8
π 时，（S 2 -S 1 ）有最大值
8
π ．
1年前
3
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