已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+3/2)=-f(x),且函数y=f(x-3/4)为奇函数

已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+3/2)=-f(x),且函数y=f(x-3/4)为奇函数
证明f(x)为R上的偶函数
y=f(x-3/4)为奇函数,所以f(x-3/4)=-f(-x-3/4),将x换成x-3/4,即f(x-3/4-3/4)=-f(-(x-3/4)-3/4),f(x-3/2)=-f(-x)①
又已知f(x+3/2)=-f(x),将x换成x+3/2,即f(x+3/2+3/2)=-f(x+3/2)=-(-f(x)),f(x+3)=f(x)②
由①②可知,f((x-3/2)+3)=f(x-3/2)=-f(-x),-f(-x)=f(x+3/2),又已知f(x+3/2)=-f(x),所以-f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数
使劲往树上爬的猪 1年前 已收到1个回答 举报

qfly272727 幼苗

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分析,
f(x+3/2)=-f(x)
利用x-3/4代换x
∴f(x+3/4)=-f(x-3/4)
又,f(x-3/4)是奇函数,
∴-f(x-3/4)=f(-x-3/4),故有函数的图像关于点(-3/4,0)对称
因此,f(x+3/4)=f(-x-3/4)
利用x-3/4代换x
∴f(x)=f(-x)
因此,f(x)就是偶函数.
又有f(x+3/2)=-f(x),则有f(x+3/2+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)
即有f(x)=f(x+3),故函数是周期函数,周期T=3
因为函数f(x)在R上是奇函数,则有在R上也是单调函数.
故1,2,3,4都是正确的.
打字不易,

1年前

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