如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为（12,0）,动点P在线段AB上从点A向点B以每秒 个

（1）点M与点O重合．
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABO=30°,∠BAO=60°．
由OB=12,
∴AB=8 ,AO=4 ．
∵△PON是等边三角形,
∴∠PON=60度．
∴∠AOP=60度．
∴AO=2AP,即4 =2 t,
解得t=2．
∴当t=2时,点M与点O重合．
（2）如图②,过P分别作PQ⊥OA于点Q,PS⊥OB于点S,
可求得AQ= AP= ,PS=QO=4 - ．
∴点P坐标为（ ,4 - ）．
在Rt△PMS中,sin60°= ,
∴PM=（4 - ）÷ =8-t．
（3）（Ⅰ）当0≤t≤1时,见图③．
设PN交EF于点G,则重叠部分为直角梯形FONG,
作GH⊥OB于点H．
∵∠GNH=60°,GH=2 ,
∴HN=2．
∵MP=8-t,
∴BM=2MP=16-2t．
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t．
∴ON=MN-OM=8-t-（4-2t）=4+t．
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t．
∴S= （2+t+4+t）×2 =2 t+6 ．
∵S随t的增大而增大,
∴当t=1时,S最大=8 ．
（Ⅱ）当1＜t≤2时,见图④．
设PM交EF于点I,交FO于点Q,PN交EF于点G．
重叠部分为五边形OQIGN．
OQ=4 -2 t,FQ=2 -（4 -2 t）=2 t-2 ,FI= FQ=2t-2．
∴三角形QFI的面积= （2 t-2 ）（2t-2）=2 （t2-2t+1）．
由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面积=2 t+6 ,
∴S=2 t+6 -2 （t2-2t+1）=-2 （t2-3t-2）．
∵-2 ＜0,
∴当t= 时,S有最大值,S最大= ．
综上所述：当0≤t≤1时,S=2 t+6 ；当1＜t≤2时,S=-2 t2+6 t+4 ；
∵ ＞8 ,
∴S的最大值是 ．