关于泰勒公示展开求证：已知f(x)在[a,b]存在二阶导数,f'(a)=f'(b)=0,则在存在c∈[a,b],有|f'

关于泰勒公示展开
求证：已知f(x)在[a,b]存在二阶导数,f'(a)=f'(b)=0,则在存在c∈[a,b],有|f''(c)|≥2|f(b)-f(a)|/(a-b)^2
第一步
由泰勒公式得
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(c1)/2!(x-a)^2 (c1介于a和x之间)
为什么泰勒公式能把最后一项f''(a)换成f''(c1)

夏荷雨微 1年前已收到1个回答举报

大狗的大狗幼苗

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就应该是c1的,泰勒公式是比拉格朗日中值定理更一般的情况,因此和拉格朗日中值定理有类似之处（拉格朗日中值定理不就是f'(c1)吗）,这样的泰勒公式不需要有余项,如果最后一项是a的话,f(x)只能是约等于后面的那个式子,或者还要加一个余项,即f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!(x-a)^2 或f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(c1)/2!(x-a)^2+o[(x-a)^2]

1年前追问

夏荷雨微举报

有的书上写的是连用两次柯西中值定理可以得到f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(ζ)/2! (x-x0)^2 (ζ介于x0和x之间) 这两个式子类似吧那他是怎么用两次柯西定理的

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不是两次柯西中值定理吧，我用两次拉格朗日中值定理可以证出来。。。

夏荷雨微举报

反正拉格朗日也算可喜的一种就这样吧也就是说所有的泰勒展开都能把最后一项换了然后就可以没有余项对吧？

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对，学了无穷级数后还可以有一种展开形式，没有余项，但需要有无穷项相加，也就是说，只有这三种情况，一种有限项无余项但是只是约等于，一种有限项相加但有余项，一种无限项相加无余项。

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